soit \(G=\operatorname{gr}\{x\}\) un groupe monogène
$$\Huge\iff$$
l'application \(\varphi:\begin{align}{\Bbb Z}&\longrightarrow G\\ n&\longmapsto x^n\end{align}\) est un morphisme de groupe injectif
\(\ker f\) est un sous-groupe de \({\Bbb Z}\)
\(\exists!n\in{\Bbb N}\), \(\ker f=n{\Bbb Z}\)
si \(n=0\), alors \(\ker f=\{0\}\) et \(f\) est un isomorphisme \({\Bbb Z}\to G\)
si \(n\gt 0\), alors \(\operatorname{Card}(G)=\operatorname{Card}({\Bbb Z}/n{\Bbb Z})=n\) et \(\bar\varphi\) définit un isomorphisme de \({\Bbb Z}/n{\Bbb Z}\) dans \(G\)
(Groupe monogène)
Rappel :
Soit \(G\) un groupe monogène fini
Alors $$G\simeq{{{\Bbb Z}/ m{\Bbb Z}\quad\text{ avec }\quad m=\
G}}$$
Rappel :
Soit \(G\) un groupe monogène infini
Alors $$G\simeq{{{\Bbb Z}}}$$
Ses sous-groupes sont alors monogènes infinis
